Problème et Discussion sur l'Inverse de la Transformation de Laplace - 1

Chercher \( h(t) \) depuis \( H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} \)

Discussion:

Il faut faire la transformation de Laplace inverse. Voici les étapes que vous pouvez suivre pour l'obtenir \( h(t) \) de la fonction de transfert \( H(s) \):

Étape 1 : Factoriser le dénominateur de \( H(s) \)

\[ H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} = \frac{s^2}{s(s^2 + 4s + 4)} = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} \]

Étape 2: Convertissez la fraction en une forme de fraction partielle plus simple afin qu'il soit facile de déterminer l'inverse

\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2} + \frac{C}{(s + 2)^2} \]

\[ s^2 = A(s + 2)^2 + Bs(s + 2) + Cs \]

\[ s^2 = A s^2 + 4A s + 4A + B s^2 + 2B s + C s \]

\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]

Étape 3: Détermination des coefficients

\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]

En comparant les coefficients, on obtient:

• \(1 = A + B\)
• \(0 = 4A + 2B + C\)
• \(0 = 4A \Rightarrow A = 0\)

Depuis \(1 = A + B\), on a \(1 = 0 + B \Rightarrow B = 1\)

Depuis \(0 = 4A + 2B + C\), on a \(0 = 0 + 2 \cdot 1 + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2\)

Étape 4: Fractions partielles

Substitution \(A = 0\), \(B = 1\), Et \(C = -2\) dans le \( H(s) \):

\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{0}{s} + \frac{1}{s + 2} + \frac{-2}{(s + 2)^2} \]

\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]

Étape 5: Inverse de la Transformation de Laplace

\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)} \right\} = e^{-2t} \]

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)^2} \right\} = t e^{-2t} \]

Donc:

\[ h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \]

\( Graphique: h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \)

 [03420240602b/b]